Topological Data Analysis（TDA) 拓扑数据分析与mapper算法

?训练的原始数据为7类3D模型数据，为了使这些模型能够成为mapper算法的输入，需要进行一些预处理，即在这些模型中抽取4000个具有代表性特征的点构成集合Y（这是对一个模型抽取4000个点），重新表示该3D模型。

? ? ? ? 得到点集Y后，这时我们就选择一个合理的filter函数，比如

?这个函数的作用就是，对于每个模型中采集的点，能够计算该点距离所有点的中心的远近程度，离中心越远的点值越大。不明白的话，直接看下图：

?上面这个图就是通过那个filter函数计算后的值的分布。就拿那个大象来说，腹部那里应该算的上是点的中心部分，所以值最小程蓝色。鼻子和后腿离中心较远，所以值最大程红色。那么经过filter函数计算后有什么用呢？

? ? ? ? 到了这里，我们再回过去看mapper算法的流程那里，此时我们已经得到该3D模型中每个点对应的一个值。这些值就是一维的数据。这样就可以设置resolution和overlap了。

下图中的U代表intervals的宽度，U重叠的部分就是overlap。

?从上面的拓扑图可以看到，对于不同类别的物体，其拓扑图完全不一样。对于相同类别的物体他们动作不一样，拓扑图也能够体现出来，即使变化很微小（如人脸的表情）。

优点2：能够发现一些更小的类。

? ? ? ? 我们来看一个例子：

输入数据为3168个语音记录样本，这些样本来自男性和女性的发言者。每个数据有21个属性。如下图：

?使用mapper算法后进行可视化：

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其中红色圈表示女性，黄色圈表示男性，蓝色圈表示男性和女性都有。图 3 和图 4 清楚地向我们展现了数据中隐藏的形状，以及从不同尺度观察数据的结果。由图 4?可知，男性和女性样本被有效区分，在同性中存在不同的簇，说明同性之间的声音也有不同的类 别，而在异性间存在共同的簇，说明即使异性之间 的声音也会有相似特征和成分。由图 3?可以明显看到簇的减少（更加粗糙），以及更加明显的聚类和数据形状，虽然整个数据的形状有点扭曲变形，但是 Y 形耀斑这样的基本特征仍然存在，说明 TDA 的确对小误差的容忍度很大，数据簇更加明确。

?优点3：发现的特征具有鲁棒性

先看一下专家原话：

?意思就是，如果一个特征，能够在不同粗糙程度的角度持续被检测到，那么这个特征多半不可能是 artifact的 而是 real的。从图3和图4中（代表不同的粗糙程度）那个y字形的图案可以看出来，这应该会是一个重要的具有鲁棒性的真实的特征。

优点4：显而易见，这个方法非常方便可视化。

优点5：代码简洁，已有比较成熟的库。

以上便是全部代码了，足够简单。?

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